除以零（第4/9页）

“是的。我想寄给伯克利的卡拉汉看看。去年春天那次会议以来，我们一直保持着联系。”

法布里希点了点头，“他上次发表的一篇文章真的给我留下很深的印象。如果他发现了问题，请一定告诉我。我很好奇。”

雷内会用比“好奇”更强烈的字眼来形容她自己的心情。

5B

雷内对自己的研究感到绝望了吗？卡尔知道她从来不觉得数学真的困难，而只把它当成一种智力挑战。难道她是第一次遇到无法突破的难题？或者说，数学本身就是无解的吗？严格说来，卡尔自己是一个实验主义者，并不真正懂得雷内是怎么创造新的数学体系的。虽说听上去有点傻，但是——她是灵感枯竭了吗？

雷内是成年人，不会像神童那样，因为发现自己正在成为平庸的成年人而感到幻灭的痛苦。另一方面，许多数学家在三十岁之前就达到事业的巅峰。虽然她离三十岁还有几年，但也许她对这个年龄界限逼近自己而感到焦虑。

似乎不大可能，他又漫无边际地想了其他几种可能性。她会不会对学术感到愈来愈悲观？是对自己的研究过于专业化而感到悲哀吗？再不然，纯粹是对自己的工作感到厌倦了吗？

卡尔并不相信这些焦虑是雷内行为古怪的原因。果真是这样的话，他觉得自己肯定会发现蛛丝马迹。但他现在得到的印象却全然不是这么回事。令雷内感到苦恼的无论是什么，反正他猜不透。这使他感到烦恼。

6

一九三一年，库尔特·哥德尔证明了两大定理。第一个定理实际上表明：数学包含或许是真实的，但在本质上却无法证明的陈述。甚至简单如算术的形式系统也可以包含精确、有意义，而且似乎是真实无疑的陈述，但却无法用形式方法加以证明。

他的第二个定理表明：断言算术具有逻辑上的一致性，这就是上面所说的那种陈述之一，采用算术公理的任何方法都不能证明其真实性。也就是说，作为一种形式系统的算术无法保证不会得出一等于二这样的结果。这样的矛盾也许永远不会遇到，但却无法证明绝对不会遇到。

6A

卡尔再次走进雷内的书房。她站在书桌前，抬头看他。他鼓起勇气说：“雷内，显然是——”

她打断他，“你想知道我烦恼的原因吗？好吧，我告诉你。”说着便拿出一张白纸，在书桌前坐下，“等一下，这需要一点时间。”卡尔又张开嘴，但雷内挥手示意他保持沉默。接着，她深深地吸了一口气，开始写起来。

她画了一条线，穿过纸的中央，将纸分成两栏。然后，她在一栏的顶部写下数字1，另一栏的顶部写下数字2。接着她在这两个数字下面迅速地画了一些潦草的符号，又在这些符号下面把它们扩展成一串串别的符号。她边写边咬牙切齿，写下那些文字时，感觉好像她正用指甲刮过黑板似的。

写到纸的三分之二左右时，雷内开始将长串长串的符号缩短成连续的短串符号。她心里想，现在要到关键处了。她意识到自己用力过大，下意识地放松握在手中的铅笔。在她写出的下一行上，符号串变成一样的了。接着，她重重地画了个“=”号，横过纸的底部中心线。

她将纸递给卡尔。他望着她，表示看不懂。“看一看最上面吧。”他照办了，“再看一看最下面。”

他眉头紧锁。“我还是看不懂。”

“我发现了一种体系，可以使任何数字等于任何别的数字。这张纸上就证明了一和二是相等的。你随便挑两个数字，我都可以证明它们是相等的。”

卡尔似乎竭力在回忆什么。“里面肯定出现了以零为被除数的情况，对吗？”