除以零（第5/9页）

“不对。没有不符合规则的运算，没有不严谨的术语，没有想当然假定的独立公理，全都没有。证明过程绝对没有采用任何规则禁止的东西。”

卡尔摇了摇头。“等一下。显然一和二是不相等的。”

“但在形式上它们是相等的，证明就在你手里。我使用的一切方法都是绝对无可争议的。”

“但你得出了一个矛盾的结果？”

“说对了。也就是说，算术作为一种形式系统，是不一致的。”

“你找不出错误来，这就是你的意思吗？”

“不对，你没有明白我的意思。你以为我是因为这个才焦头烂额的吗？证明本身并没有错误。”

“你的意思是说，用的方法都是对的，结果却出了错？”

“正确。”

“你肯定——”他戛然而止，却太晚了。她瞪着他。她当然可以肯定。他想知道她到底想得出什么结论。

“你懂吗？”雷内道，“我已经推翻了大半个数学，这门学问全都没意义了。”

她焦躁起来，几乎快发疯了。卡尔小心翼翼地选择字眼，“你怎么能这么说？数学仍然有用。科学和经济并不会因为你这个领悟而突然崩溃的。”

“这是因为他们使用的数学纯粹是骗人的把戏，是一种口诀式的小玩意儿，跟用指关节来计算哪些月份有三十一天一样。”

“不一样。”

“为什么不一样？现在，数学与现实绝对毫无关系。且不说像虚数或者无穷小数之类的概念，就连该死的整数加法都跟用指头计算毫无关系。你用指头计算，一加一始终等于二，但在纸上我可以给你无穷多的答案，这些答案全都同样有效，这也意味着它们全都同样无效。我可以写出你见过的最优美的定理，但它却不过是一个瞎扯淡等式。”她苦笑起来，“实证主义者曾经说一切数学都是同义反复。他们错了；数学是自相矛盾。”

卡尔试了试另一种方式。“等一下。刚才你提到的虚数这类想象出来的概念，大家不也一样接受了吗？现在不也可以这样吗？数学家们曾经相信虚数没有意义，可是现在它们成了数学的基础概念。情况完全是一样的呀。”

“不一样。当时的解决方法只是扩展语境，用在这里不起作用。虚数给数学增添了新的内容，而我的形式系统却是给已经存在的东西下定义。”

“但是，如果你改变语境，从不同的角度探索——”

她翻了个白眼。“不可能！这个体系是从和加法一样明白无误的公理得出的结果，无法绕过。我可以担保。”

一九三六年，格哈德·根岑提出了一种对算术一致性的证明，可是要作出证明，他需要采用一种有争议的方法，即人们所知道的超限归纳法。这种方法不属于正常的证明方法，因此似乎难以恰当地保证算术的一致性。根岑所做的是使用可疑的方法来证明显而易见的东西。

卡拉汉从伯克利大学打电话来说他也不能雪中送炭，但表示愿意继续研究她的论文，似乎她触及到了某种本质的，而又令人不安的东西。他想知道她是否打算发表她的形式体系，如果这个体系的确包含他们两人都无法发现的错误，数学界肯定会有其他人能够发现。

雷内几乎没有听他说话，只是嘀咕以后会打电话联系他。近来，她与人讲话很困难，尤其是那次与卡尔争论以来，情况更糟糕。系里的同事们都尽量避开她。她显得心不在焉。前一天夜里她做了一个噩梦，梦见自己发现了一种形式体系，可以使她将主观概念转换成数学语言，然后，她证明了生与死是相同的。