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设三角形ABC是等边三角形，E是由线段BC，CA，AB上的一切点（包含A、B、C）所组成的集合，问对E的任一分为两个不相交子集的划分来说，是否至少存在一个子集，其中某一直角三角形的顶点？证明你的结论。

考生：……

第一道题就上这种难度！！！

有人找不到切入点，开始抱着侥幸心理看第二道题，有时候吧，出题人不知道出于什么心理，第一道题就给考生一个下马威，最后一道压轴题绝对不可能简单，最简单可能是中间那道题。

然后看到了第二道题。

一棱柱以A1，A2，A3，A4，A5，与B1，B2，B3，B4，B5，为上下底，这两个多边形的每一条边及没每一条线段Ai，Bj(i，j=1，2，3，4，5)均涂上红色或者绿色，每一个棱柱顶点为顶点的，以已涂找那个色的线段为边的三角形均有两条边颜色不同，证明，上下底的10条边颜色一定相同。

考生：……

他们忽然没有勇气去看最后的压轴题了。

他们有种感觉，自己可能不是在选拔省队成员的名单上，而是在冬令营的选拔赛上。

总共就三十个考生，一个考场就绰绰有余了，老师也不用挨个考场巡视了，站在讲台上就能一览无余。

也把每个考生脸上的绝望、不可置信收入眼底。

考场上空迅速的凝聚了一大片的阴云，把整个考场都笼罩了下来，仔细听听，似乎还能听到考生的呻、吟声。

他们都是省数会成员，自然看过题目了，也知道会长是出于什么心理弄出来的这题，现在看到，有些于心不忍起来了，“这是不是太难了……”

控诉的看向了会长，如果这次省队分数跌破20分，他们面子也不好看啊！

会长面对这目光轻轻的咳了咳，装作看不到，像是随意，其实是笔直的到了洛叶身边。

他要看看她到底能用多长时间做出来。

而洛叶想的是，出题人果然十分偏爱证明题，今天的三道题两道题都是证明题，最后一题是不等式。

而且吧，把第一道题和第二道题放在一起，实在不算高明。

第二道题明显是组合数学中的染色问题，而想到了染色，这给了洛叶提供了一个思路，如何证明第一道题。

在很多的问题中，为了构造不变量，都习惯用染色的方法对问题进行分类，每一类就由一种颜色的对象组成。

证明：借助红色、黄色，把问题转化为了以下形式，将E中点染成红色或者蓝色，证明一定存在一个直角三角形，是哪个顶点的颜色相同……

看到的这的时候，会长的脸微变，洛叶发现的问题，也被他给发现了！失策啊！他忘了第一题的证明方法还有这么一种方法！

他居然会犯这种低级错误！

会长不由的有些吐血。而且看过卷子的人都没有发现，而就让洛叶发现了！丢人啊！会长几乎要扶额了，他回去要看看明天的试题，可千万不要有这种错误！

同时，眼睛不着痕迹的看了一圈，发现绝大多数人都还是愁眉苦脸的，根本没从第二道题中想起来还能这么做，松了口气，随后又觉得不对了，你怎么就能这么快的发现呢！

这才开始考试多长时间？你居然已经要写完了第一道题了！

没错，在会长这会儿反思的时候，洛叶已经顺着思路第一道题写了过半了，毕竟找对了思路，其余的就好说了，这道题的步骤又不怎么长。

“……如果BC边上，除了Q点整外还有红色点X，那么RQX组成红色顶点的指教三角形。如果BC边上除了Q点外没有红点，真是则B点为蓝点，又若AB边上除了B点外还有蓝点Y，则做YM垂直于BC，正M为垂足，再若……”

这真的是最后一个步骤了，会长：“……”大意了，大意了！！如果这一次她再提前交卷，那真的要怪他太大意了。